黃金分割,究竟是什么鬼?
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不知道你有沒有那個時期,看到一些看起來高逼格的作品,因為他們被各種不認識的高逼格的線標注,非常的專業,非常的牛叉,瞬間崇拜作品和作者,心里各種羨慕嫉妒恨。

不要惆悵了,這次推薦的這本《設計幾何學》,帶大家學習一下關于黃金分割螺旋線的理論知識,以后你也讀懂牛逼的作品,甚至也可以高逼格的標注下的自己的作品拉出去炫酷了。

黃金分割創造和諧的力量來自于它獨特的能力,就是將各個不同部分組合成一個整體使每一部分既保持它原有的特征,還能融合到更大的一個整體團中。

黃金分割矩形的構成


1、定義

將一條線段分為兩部分,整條線段AB與較長部分AC的比值與較長部分AC與較短部分BC的比值相同。這樣就給給出一個近似比 1.161803:1

 

 


用正方形構成黃金分割矩形的方法


1、從一個正方形開始

2、從一條邊的中點A向一個對角B畫一條斜線。以這條斜線為半徑作一段圓弧,與正方形的延長線相較于C點。這個小矩形和這個正方形共同構成了一個黃金矩形。

3、這個黃金矩形能夠被進一步分割。當進一步分割后,該矩形產生一個較小比例的黃金分割矩形,它是內含黃金分割矩形(或二次黃金分割矩形),而出現一個正方形面積。這個正方形面積也可以被稱為磬折形(gnomon)

4、這個分割過程可以無限繼續下去,產生許多更小的等比的矩形和正方形。

黃金矩形獨特之處在于它被分割后,得到的圖形是一個較小的等比的矩形,分割后剩下的面積是一個正方形。因為分割得到一個二次黃金矩形和一個正方形的特殊的性質,黃金矩形被稱為“螺旋產生正方形的矩形”。這些等比例減小的正方形能夠產生一條螺旋線,用正方形的邊長作為半徑可以構成一條螺旋線。

黃金分割螺旋線的構成

運用黃金矩形分割的示意圖可以構造一條黃金分割的螺旋線。用被分割而產生的那些正方形的邊長作為圓的半徑。對每一個正方形畫出圓弧,并連接這些圓弧,見示意圖。


黃金分割矩形,三角形構成方法


1、作一個直角三角形,兩直角邊的比例為1:2.以DA為半徑,以D點為圓心,作一條弧線與三角形的斜邊相交。

2、以D點為圓心,以CE為半徑,沿斜邊作另一條弧線與底線相交。

3、從這條弧線與底線相交的B點作一條垂線與這條斜邊相交、

4、這種方法用確定矩形(邊長AB和BC)構成黃金矩形。對該三角形的分割產生了成矩形邊長AB和BC,它們的比例是1:1.618的黃金比例。

黃金分割的各種比例

三角形黃金分割方法產生了黃金分割矩形的各個邊,另外,這種構成方法能產生一系列圓或正方形,它們彼此符合黃金分割比例,如下圖所示

圓和正方形中的各種黃金分割比例

三角形的黃金分割構成方法也能產生一系列符合黃金比例的圓形或正方形


黃金分割三角形和橢圓


這個黃金三角形是等腰三角形,具有兩條相等的邊,并以“卓越”三角形而聞名,因為它的特性類似于黃金分割矩形的特性:它是大多數人所喜歡的那種三角形,它很容易從一個五邊形中得到,并且頂角為36度,兩個底角為72度,將這個三角的底角與相對的五角形的頂點相連,這個結構被進一步分割成另一個黃金三角形。對對角線連接各個頂點將會產生一個五角星形,這個十邊形,外輪廓共有10條多邊形,通過其中心點與任意兩個相臨頂點的連接將會產生一系列的黃金三角形。

黃金分割橢圓形也顯示出了與黃金矩形和黃金三角形相似的美學性質,就像矩形一樣,它的短軸與長軸的比例為1:1.618.

從五邊形構成黃金分割三角形

作一個正五邊形,把五邊形底邊的兩個頂點與對面頂點相連,這將會得到一個底角為72度,頂角為36度的黃金分割三角形。

從正五邊形構成二級黃金分割三角形

這個正五邊形結構將會得到若干二級黃金分割三角形,將一個底角的頂點與對面一個頂角相連。

 

從正十邊形構成黃金分割三角形

作一個正十邊形,任意兩個相臨的頂點與中點相連產生一個黃金分割三角形。

五角星形的各種黃金比例

由正五角形的對角線構成的有五個頂點的形狀是一個五角星形,它的中間部分是另一個正五邊形,如此繼續下去,較小的五角星形和無邊形產生過程被稱為畢達哥拉斯的魯特琴,這是因為它與黃金分割有關。

用黃金分割三角形構成黃金分割螺旋線

從黃金分割三角形的一個底角作一個36度的角,該黃金分割三角形能被分割為一系列的較小的黃金三角形。這條螺旋線是通過分割部分產生的那些三角形的邊長作為圓形的半徑構成的。

 


√2 矩形的構成


√2具有特殊的性質,能被無限分割為更小的等比矩形,這意味著當一個√2矩形被二等分時,得到2個較小的√2矩形,當被四等分時,等到4個較小的√2矩形。

√2矩形的比例近似于(相當接近)黃金分割率

√2的比例是1:1.414,而黃金分割率的比例是1:1.618

由正方形構成√2矩形的方法

1、作一個正方形

2、在這個正方形內每一條對角線,以這條對角線作一條弧與正方形的底邊延長線相交,將這個心的圖形封閉為一矩形,這就是一個√2矩形

√2分割

1、這個√2矩形可以被分割為兩個較小的√2矩形,同一條對角線將這個矩形等分就得到了兩個較小的矩形,將這兩部分再細分又得到了更小的√2矩形。

2、這個過程可以被無限重復,可以產生無限多的√2矩形。


√3矩形


正如√2矩形能被分割成相似的矩形,√3,√4和√5矩形也可以被這樣分割,這些矩形既能被橫向分割也能被縱向分割,這個√3矩形能被分割為3個垂直的矩形:這3個垂直的矩形能被分割為3個水平的矩形,等等。

這個√3矩形具有構成一個正六棱柱結構的特性,這個六邊形能在雪花晶體的形狀、蜂巢和自然界許多其他的方面中找到。


生活實例


貝類的螺旋輪廓線顯示成長過程的積淀方式,貝類的這些成長方式是以各種黃金分割比例行程的對數螺旋線,它們被認為是完美成長方式的理論。

五邊形和五角形具有黃金分割比例,因為五角形內有三角形的邊長比例是1:1.618.

松果和向日葵的螺旋成長方式是相似的

許多魚具有黃金分割關系。

古典雕塑中人體的各種比例

面部的各種比例

建筑中的各種比例

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作者:大寶大寶
文章出處/作者微信公眾號
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